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[英]T•威廉姆森:二十一世纪的逻辑与哲学

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[英]T•威廉姆森:二十一世纪的逻辑与哲学

核证逻辑先导于20世纪90时代的“表明逻辑”,前面一个是为直觉主义逻辑提供算术语义的一个片段。根据哥德尔的一个演绎结果,直觉主义逻辑嵌入到S4,由于哥德尔不完全性定理,S4的必然性算子无法同等对待算术中的格局可证性;但根据哥德尔1939年的多少个演绎主见,S4的必然性能够看做“显式”可证性谓词。那大器晚成思索在20世纪90年间被阿逖莫夫独立意识,成为创设注脚逻辑系统的激情,模态算子被大器晚成族显式“注脚项”所替换。阿逖莫夫评释的“算术完全性定理”阐明,S4可停放到表达逻辑,而评释逻辑可放置到方式算术。所有这个合营为直觉主义逻辑提供了二个算术语义学。“核证逻辑”是把注明方法论内部化的模态逻辑新支行。

Model Logic and Philosophy Beijing University of Aeronautics and Astronautics,

或是世界语义学

在最先揭橥于一九九二年的一篇演讲“七十世纪的逻辑与农学”①中,George·Henley·冯Wright称“逻辑学一向是大家时期历史学的精通标志”。可是,他预见:“在新时代医学发展的漫天情形中,逻辑学不也许再持续饰演它在八十世纪所保有的那种重要剧中人物。”②

Beijing 100083 Dept.Philosophy,Beijing University,Beijing 100871

模态逻辑是有关必然性和恐怕的逻辑,只怕说,是关于“一定是”和“也许是”的逻辑。必然性和恐怕也可做其它解释:真势模态逻辑把自然解释为自然真;道义逻辑则把自然解释为道义必然性或规范必然性。必然也能够指“知道为真”或“相信为真”,那是认识逻辑的解释;即便指“总是为真”或“从今以后总是为真”,则是时态逻辑的解说。还是能把“必然p”解释为“p是可证的”。作为必然性和或者的逻辑,模态逻辑不止怀想事物实际存在格局的真和假,况兼考虑“借使事物处在与事实上存在情势分歧的存在情势中,那么哪些将是当真或假的”。假使壹位思考到了事物在真实世界中的存在情势,那他或者也会思量事物在可代替的、非实际即也许的世界中是哪些地差异于真实世界中的存在方式。逻辑关心真和假,模态逻辑则爱护真实世界和其他或然世界中的真和假。在这里个意义上,叁个命题在二个世界中是自然的仅当它在只怕代替该世界的兼具世界中为真,它是大概的则仅当它在或许替换该世界的某部恐怕世界中为真。

冯Wright为她的论断提出了四个理由。一是他意识风流倜傥种对于文明社会的新的悲观心思。在那之中的授意是,从好的地点看,21世纪的思想家将全神关注于对启蒙之破绽的批判,而无暇过多地关照逻辑;从坏的地点看,他们将把逻辑视作他们正举行批判的东西的一个因素。或者能够说,固然哥德尔和塔斯基在20世纪30年份的欧洲认证了最具艺术学开创新意识义的结果,但这种结果笔者马上就为国风大雅小雅悲观论提供了依靠。

内容提要:模态逻辑是关于必然性与只怕的逻辑,因而也就关系到早晚与大概相关的有的理学难题。除语义学方面包车型大巴主题素材外,模态逻辑自己也存在与教育学相关的题目,如本质主义难题、抽象实体的存在性难点等。模态逻辑也抓住部分农学难题,如大概世界的本体论难题,或然个体的跨边界同风度翩翩和辨识难点等。模态逻辑的钻探成果对今世法学的开辟进取也负有关键的意义。今世马克思主义管理学的钻探也应当结合与观察现代逻辑的研究成果。

以此为基础来伪造模态逻辑有效性的也许世界语义学始于20世纪50年间中期和60年间早先时代。恐怕世界是恐怕世界语义学的骨干概念,模态逻辑历史中最根本的突破性进展是大概世界语义学的提出,由于不难、自然以至起点于工学等特征,只怕世界语义学一贯是模态逻辑模型论商量的核心工具。

冯Wright的另一说辞是那般的。在初创的冬天时代,今世逻辑曾首要关注于全部重要性军事学意义的基础性难点,但自20世纪30时期以来,它已步入正规科学时代,当时准确的专门的学业化难题经过约定性的严酷措施举行回答。基础性陈设不再浮夸夸口。根据冯Wright,“经过那样转型的逻辑不再是经济学,而造成了不利。”③方可以为到到,这一说法在文学与对头关系上预设了风流倜傥种非早晚的竞相排斥的观念,其或然是基于风姿浪漫种过于理想化的正确概念。可是,冯赖特引自贝特兰·Russell的风华正茂段话是有未卜先知的:“除开其起初时代外,数理逻辑……实际不是一向持有医学的主要。在最初时代过后,与其说它属于历史学,比不上说它属于数学。”④与别的其余的数学专门的学问比较,现代逻辑中的大超级多办事(例如以《符号逻辑杂志》为代表)并不具有越来越多的法学意义。即使数学严酷性能够有很主要的理学意义,但逻辑研讨的矛头未来更有十分的大希望是由数学兴趣而非医学兴趣所明确的。⑤

Model Logic is about the one of necessity and probability,and it would be involved some philosophic problems.Besidesome problems of semantics,model logic itself also includessome philosophic problems,such as essentialism, abstractentity and so on.

或者世界的名字

尽管,要是逻辑变得不再具有历史学性,那并不表示理学就不再持有逻辑性。未有证据能够说,思想家们平均利用逻辑方式或款式方法比过去少了。形式认知论上的近年来发展显得出相反境况。更为相通地讲,通过情势化来核准论证正是今世管理学中的规范做法。当然,这种方法不可能盲目适用——它们具有界限,必得当心和睿智地加以运用。但怎样科学方法不是同一如此呢?

关键词:模态逻辑/本质主义/抽象实体/军事学/model logic/philosophy/necessity/probability/essentialism/abstract entity

恐怕世界语义学与旧有的句法古板之间的相应并不圆满,局部视角与标准模态语言的全局视角两个之间的不对称就是难点的来自。也正是说,在大概世界语义学中具有根本地位的或是世界并从未在模态句法中表现出来。这种不对称情况导致了超多决不我们必要的结果,举个例子,贫乏对众多语义特征的丰裕表示,缺少合适的模态注明论。前边四个比比较简单于解释,因为职业模态语言未有一套机制来命名贰个模型中的特殊“或者世界”、肯定或否定大概世界的极度、表明从一个或者世界到另多个可能世界的可达性等。那一个都属于模态模型论的主干问题,但在标准句法中代表不出去。恐怕世界语义学中框架的成都百货上千要害性质都以生机勃勃种极度直接的措施被表明出来,而任何众多种大性质则索性在行业内部模态语言中不能够被揭橥。

冯Wright承认,“大家得以确信,逻辑学中也将生生世世地存在暗角,进而它一定永恒有某些地点能受到文学家的保养”。⑥但是,对于逻辑学在军事学上的无差纠纷性所存在的挑战,以后远比冯Wright所思量的更具系统性。

1 模态逻辑

模态逻辑的正统注明论的接纳范围是特别常有限的。普通注解方法运用到正式模态逻辑时的难题首要与下述事实有关:很难管理模态算子辖域内的音信。对于多姿多彩的模态逻辑来说,存在着多量的非公理化的声明系统,可是在大气处境下,那几个逻辑提供的都以对它们的格局化中所现身的标题标人工消弭。一些所谓自然的系统只是某个特殊的逻辑的方式系统,难以举办平时化推广。因而,在正规模态逻辑中,与大概世界模型所成功提供的语义职业相比,句法方面并从未意气风发种统生机勃勃的架构可言。

模态指的是东西和命题的必然性和大概等这类性质。模态逻辑简单地说正是关于必然性与恐怕的逻辑。因为关乎到必然性与大概那样一些文学概念,模态逻辑又称之为管理学逻辑,是军事学逻辑中第一发展兴起的三个紧要分支。

一个自然则然的主题素材便是如何使得句法和语义互相生机勃勃致起来。大器晚成种或然性正是在语言中为模型中的可能世界引进明显的句法表示。那样后生可畏种扩展可感觉表明力提供丰富的布帆无恙,可是也引发三个伴生的题目:以何种方式达成那风流洒脱专门的职业。起码能够有三种偏向:外界方向和里面方向。外界方向是为逻辑语言引入新的元理论工具,模态逻辑中最风靡的消亡办法是为公式增多前缀。内部方向则是拉长对象语言以至新的算子,对象语言的丰硕通过对原子举办归类表到达。那正是参差不齐逻辑所做的办事——在句法中为或许世界引入“名字”。

在逻辑变得更像科学而非文学的进度中,大器晚成阶逻辑(当然是精粹的非模态方式)起先享有“规范逻辑”的身份。逻辑教科书教学生龙活虎阶逻辑;它们却相当少讲二阶逻辑,前面一个被边缘化了,被认为是奇异的。但是,弗雷格、Russell和Whyet海以至1911年前其余人的逻辑系统都以高阶的。他们的生机勃勃阶逻辑部分唯有在有则改之时能力独立发生意义。有关生龙活虎阶逻辑楷模化的历史细节,存在着争执。⑦逼真,哥德尔一九三零-一九三一年的完全性和不完全性定理具有首要地方。它们显示,大器晚成阶逻辑具备可相信且完全的情势公理系统,而对于二阶逻辑,却不也许有一个保障且完全的款式表明系统。在这里意义上,后生可畏阶推理可改为纯方式的,而二阶推理却不能。后来,蒯因对于生机勃勃阶逻辑的特权建议朝气蓬勃种出名的法学辩解。他将二阶“逻辑”视作集结论的生机勃勃种惑人外表,后面一个的本体论承诺能够由此其在风姿浪漫阶框架下的流芳百世公理化更为实际地显现出来。蒯因也不认账标准生龙活虎阶逻辑的任何代替系统的逻辑地位,特别是模态逻辑等卓绝逻辑的扩展系统和直觉主义逻辑等非杰出逻辑。⑧

模态逻辑分为守旧模态逻辑和今世模态逻辑。古板模态逻辑发生于古希腊共和国(The Republic of Greece)。今世模态逻辑是在数理逻辑的推进下发生和提开心起的。本世纪初,Russell建构了杰出逻辑。因为对卓绝逻辑中的实质包涵不满,以为还未刻画出平常推理关系,米国逻辑学家和文学家C.I.Lewis(C.I.Lewis)建议了适度从紧包括,并以此为出发点建造了5个逻辑系统S1,S2,…,S5,那正是最先的5个模态逻辑系统。所谓“p严峻满含q”即p能够逻辑地生产q,或“p实质饱含q”具备逻辑的必然性。那样,就把必然性等那类概念引进了逻辑,建构了二个新的现代逻辑分支。以后模态逻辑中有着应有尽有多的系统。每一个系统都以对大器晚成种必然性的描绘。

错落逻辑是模态逻辑的贰个崭新分支,然而起源能够追溯到20世纪50年份,只是首要性直到20世纪90时期才被意识到。混合逻辑的三个一向观念是:满意关系的内部化(那时候的知足关系是相对而言的)、把命题划分为常见命题和名字。

新葡京官网,蒯因的立场以往总的来讲过于局限了。在数学上,他所否定具备逻辑地位的特定系统均为定义鲜明的结构,都可以常备的格局举办切磋。在管理学上,将它们消灭在外就好像是独断的,是无谓的周旋。卓越逻辑的少数扩展系统极其是模态逻辑习于旧贯上都被用作艺术学研究的逻辑背景。⑨今后有诸很多学教育家都相信,数学理论上正巧的逻辑背景都是二阶的而非意气风发阶的。最醒目地,二阶算术丰裕呈现了自然数结构,因为它的装有模型都互相同构;然则,一阶算术及其其余相通的款型扩展却不具备大家想要的这种模型——它们所包括的成分通过商朝数次选用起来于零的后继运算却难以到达。⑩别的,有人做出极度论证来反对杰出逻辑,扶持某种非非凡逻辑(多值逻辑、弗谐和逻辑、直觉主义逻辑等等),以便对于说谎者谬论、谷堆悖论、有关无穷或今后的机械难点等等,赋予令人满足的教育学演讲。尽管有什么人反驳这么的论证,他也不能够依赖找不到精髓逻辑的风度翩翩种真正代表系统就回顾地拒绝排斥它们。任何有效的应对必需涉及所商讨的提议的细节。

模态逻辑有种种语义学,当中主要的是唯恐世界语义学。大概世界语义学的中心出发点来自于莱布尼茨关于必然性和大概世界的合计:三个命题是必定的,当且仅当,它不唯有在实际世界中真,并且在享有望世界中都真。恐怕世界语义学创设于50年份中至60年份先前时代,由肆个人创作者差不离与此同临时候提议。当中克里普克最为扎眼地建议她的语义学来自于莱布尼茨的考虑,並且用他的语义学表明了一星罗棋布模态系统的完全性,所以影响最大。

加多了那一个内容之后,大家可以获得怎样的结果?特别是,那样一来确实就比正规模态语言出色吗?那几个标题在原子分类方面更为风趣:赫赫有名,对大器晚成阶语言的变元进行私分并不会收获更加多的表明技巧,只是比规范单连串语言表述得多少紧致、简单一点。不过,在模态语言中对变元实行分类将会真的改造表明本事进而得到更加多的修正。由此,混合的模态语言首若是修复提到结构的元素与语言技艺之间不对称性的生龙活虎种工具。简单的讲,混合语言的引进将有下述用处:获得更具表明力的语言;完全性理论中越来越好的表现;更自然、更简便的认证理论;可判别性、复杂性、内插性甚至其余注重性质中的优质表现。

不等系统的这种冬季怎么样与料定为不易而非法学的逻辑脾性相调和呢?答案在于元逻辑的身价。在常规状态下,全数那一个体系都是在生龙活虎阶非模态元语言下使用精华演绎和集结论举行商量的。科学秩序在元档期的顺序上得以上涨。此类系统不但在句文学和注解论上适应不奇怪的数学切磋格局,并且它们的模型论也是在精髓少年老成阶集合论内达成的。大家以模态命题逻辑为例来看。

莫不世界语义学给模态逻辑提供了从严的语义对象和研究工具,为解析各样必然性提供了强盛的手艺花招,使得必然性这种大约不能够入手深入分析的习性获得严刻的描绘,分清了差别的必然性的强弱档次。后天恐怕世界语义学已在逻辑学中占领十三分关键的地位。各种工学逻辑大约都用到这一语义学。精髓逻辑的语义也足以被用作该语义学的特例。

有关获得更具表达力的语言,直接的字面意思正是在壮大后的言语所抒发的逻辑上校会有更加的多的有效式,但更为首要的是,混合语言能够定义比超多在规范模态语言中不能表明的框架性质。表明本事的增高福利进一步直白、更为完善的框架可定义性理论的树立。混合逻辑中收获的貌似完全性理论也将比标准模态逻辑中相应的结果更加简单。模态逻辑的专门的职业认证方法的运用相比复杂是因为很难处理模态算子辖域内的句子。在混合逻辑中,一些不容置疑的工具如名字和满意算子能够拍卖这一难点。混合逻辑中的每三个模态化句子都可以差别成多少个部分,在那之中一些片段载有三个模子的布局消息,而多少个某些直接为我们提交原先处于模态算子辖域内的语句。把纷纭音信分解成较为简单部分的这一本来方式,轻松使出色逻辑的非公物理和化学方法移植到模态逻辑。因而,混合逻辑更是丰裕的语言为模态注解论提供了越发相同且统黄金年代的句法背景。

对于模态逻辑来讲,决定性的手艺突破是“只怕世界”语义学的前进。其根本定义是关于模态命题逻辑的模型以致模型内真。依照专门的学问,模型是任意四元组,在那之中W是大器晚成非空集,@是W中一成分,GL450是生龙活虎在W上的二元关系(可以预知晓为W元素有序对的集纳),而V是由原子公式到W子集的函数。对于在加以模型中W成分w上风华正茂公式的真,递归定义。原子公式p在w为真,当且仅当w∈V。对于否定、合取之类的真值函项算子的鲜明分明是看似重复的:对于随便公式A,A在w为真当且仅当A在w不为真;对于自由公式A和B,A & B在w为真当且仅当A在w为真何况B在w为真。对于大概和必然等模态算子的明确,分别选拔在W上的存在量化和全称量化:◇A在w为真,当且仅当A在某些使得QX56的x∈W为真;□A在w为真,当且仅当A在任风度翩翩使得中华V的x∈W为真。生机勃勃公式在模型为真,当且仅当它在@上相对于该模型为真。大器晚成公式在模型类C上有效,当且仅当它在C类的每一分子为真。

值得生龙活虎提的是,在超多动静下,大家不要求为语言表达技巧的加强而付出代价。逻辑的多个特别首要的特点是它们的可剖断性及看清程序的千头万绪。那个可看清的模态逻辑经过混合化之后仍然为可决断的,何况常常的气象是复杂也并从未被感动。

这几个概念是以纯数学语言给出的。未有模态算子用于元语言,以致也未用于在目的语言中对模态算子◇和□的明确。非格局部给出语义学,大家可以把W说成是世界集,把@说成是呼之欲出世界,把Tiguan说成是世界中间的相关恐怕性关系,但这几个思索在款式定义中如何效果也从不。譬喻,我们能够通过纯数学花招表明,公式(p &□p)对所有模型(个中途胜在W上是自返、对称和传递的)组成的类不是卓有成效的。大家在证实时只需点名三个模型,其中:

大概世界语义学是模态逻辑最盛行的语义学,也是最具军事学意义的语义学,在模态逻辑的对象语言中引进“也许世界的名字”作为大器晚成类原子命题,非但不曾损坏模态逻辑的根底,反而抓好了它的表明本领,具有深厚的理论意义和艺术学意义。

W={0,1},@=0,汉兰达={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>},V={0}。如此,在该模型中,p &□p为真,由此(p &□p)不为真。根据大概是该对象语言的料想解释,这里呈现:真并不就意味着必然性(最少对于此类模型来讲),但亦非在提议三个不经常候真理的例证:该模型乃纯抽象的数学结构,并且公式p在模型中0为真那生机勃勃真相本人不是一时的。有偏执的形而上学家以为,全部真理都是迟早的,但他却在数学上保持规范,那样的人料定依旧同意:公式p &□p在该模型中为真,但他会全盘否定:该模型适合该对象语言的料想解释。实际上,在过去的50年间,有关模态逻辑的能力钻探通过在其推理中革除全体模态因素已赢得宏大进展。

结构核证逻辑系统

对于大卫·刘易斯(David刘易斯)那样的所谓模态实在论者来讲,凡模态者实际上都可化归为非模态者:在非模态语言中对于世界的量化,比起利用模态算子,能更上一层楼清楚地表现出潜藏的机械实在。现实世界只可是是累累世界中的叁个,好比此处只可是是数不胜数地点中的三个,它仅从其自己角度来看才享有特权。可是,大好些个施用模态语言的思想家都反驳模态实在论,以为它完全不合情理;他们坚持不渝认为,那生机勃勃活灵活现世界在意料之中上存有风流倜傥种特有的机械地位。由此,就这一方面来讲,运用模态算子,比起在非模态语言中对此世界的量化,能更为清楚地表现出潜藏的教条实在。依照那样的思想,方式模型论依旧起着扶持功能,它推动注脚:特殊的模态结论不只怕由新鲜的模态前提得来。其余,若思虑模态因素,大家能够提出,对于原子公式的任生龙活虎给定的命题支使,总有二个模型,当中真公式与在该指使下基于联结词的料想解释为实在公式完全适合。由此可得出,对于某模型类,在那类中有效的公式与在对原子公式的每一命题指使下基于联结词的意料解释有效的公式完全切合。豆蔻年华旦合适的类得以明确(那还必要思虑模态因素),它就可用于对模态推理的查检。但那么些使用并不是方式模型论自个儿所固有,并且对于它的应用是通首至尾工具主义的视角。

混合逻辑是内部化了的或是世界语义学的模态逻辑,而核证逻辑之中国化学工业进出口总集团了表明方法论。二个自投罗网的标题是:是或不是持有核证逻辑形式的错落有致逻辑。也正是说,把“只怕世界的名字”引进核证逻辑,在三个逻辑中既内部化语义学又内部化注脚,把那三种牵记组合到一个体系当中。那一个样子开端于世界著名逻辑学家费汀在二零零六年的专门的职业。大家的钻研在其基础上组织了交集逻辑情势的核证逻辑系统,把语义学内部化和注脚在那之中国化学工业进出口总公司统大器晚成在一个形式系统内,构建起混合核证逻辑的相当的小系统,提出适当的语义解释并交由完全性定理和促成定理的认证,进而解决了费汀建议来的未缓和难点——混合核证逻辑的十分小系统难点。

就疑似的场馆出以往二阶逻辑上。其标准模型论是由风流倜傥阶元语言加上集结论给出的:二阶变元包罗生龙活虎阶变元域的具备子集。像Stuart·夏皮罗(Stewart Shapiro)那样的二阶逻辑首要倡导者,以色列德国文那黄金年代非格局元语言商讨所选用的风姿浪漫阶量化包含属性、集合、关系或函数,其所属的语法范畴与大家在说“大器晚成阶变元包括定义域内诸个体”时所使用的完全相像。但二阶量化是在谓词地方上的量化,那与豆蔻梢头阶量化在称呼地点上的量化相对。夏皮罗为其所支撑的二阶对象语言研商所提出的元语言是大器晚成阶的。

混合核证逻辑相当小系统的树立对于混合核证逻辑那生机勃勃族逻辑的商量有着至关心重视要意义,十分小系统的觉察意味着那意气风发族逻辑中“最广泛真理”的开掘。从军事学上来讲,由八个名字命名的或许世界是意气风发类“事实”,在Witt根Stan看来,“逻辑空间中的诸事实即是世界”,构成一个世界的诸事实必定要能被证实确实是构成了二个世界,那是建设构造并切磋“混合的核证逻辑”的局地艺术学意义。

有关非优越逻辑,它们的元理论平常也是接收精华演绎达成的。以连续统值(continuumvalued)逻辑或歪曲逻辑为例来看。它不经常被提议作为模糊谬论的减轻方案,因为须求用真之程度的连天统来追溯相同“她是男女”那样的模糊语句何以由真经过一而再性进度稳步转移成假。它还被建议作为雷同说谎者谬论的语义悖论应用方案的意气风发某些。命题逻辑的接连统值模型是由原子公式到实区间[0,1]分子之间的函数,当中1意味着相对真,0代表相对假,而其余数字代表真之中间程度。该模型论的出格之处在于,它对作为成分公式真之程度的函数的复合公式的真之程度进行测算,是对二值真值表的风度翩翩种归纳。令v为A的真之程度。则:

(小编系中国社科院探讨员,专著《或者世界的名字》入选《国家历史学社科成果文库》)

v

v(A & B)=最小值{v}

v=最大值{v}

v=1-),若v;不然为1。最终一条是说,条件句的真之程度应该小于相对真,仅就以前件到后件现身真之程度蚀本来说。黄金时代公式有效当且仅当它在每一模型下都为相对真。大家明天可在数学上印证,排中律p∨p依据该语义学为非有效的。因为在里头v=0.5的一模子中,对于否定和析取的规定也使得v=0.5。这种模型论注明是行使特出逻辑和数学给出的。它完全不求助于模糊性、语义谬论或其余任何被以为引发由二值到连年统值语义学调换的场地。不过,依据此类模型论的提倡者,它所确证的公式与基于对具备隐衷模糊或语义谬论的原子公式的每朝气蓬勃演讲为相对真的公式全然切合。此例对于不可枚举的非杰出逻辑元理论非常优良。在这里样的景色下,元语言中的优质演绎依照近乎重复的语义规定得出结论:对象语言的有个别杰出原理为非有效。

有后生可畏种暗暗表示的蒯因主义仿佛是在做元档案的次序职业。任何对于精髓生龙活虎阶非模态逻辑的违反都被认同,因为它可在杰出生机勃勃阶非模态逻辑中提南开器晚成种模型论。其格言是:你尽能够在目的语言中违反古板,只要您在元语言中遵从正统。那后生可畏态度依旧足以给人意气风发种印象:逻辑上的间隔仅仅是记法上的,或然起码是有一些表面化的,因为大家在元语言中全都意见相仿。既然今世数理逻辑大都是元逻辑,难怪它选取了约定性的、科学的方式。

底档次上二种性的言语和逻辑,与元等级次序上同生龙活虎性的语言和逻辑,二者的这种重新组合到底有多么稳定啊?大家能够把杰出大器晚成阶非模态元逻辑应用到差异于标准的精华生龙活虎阶非模态逻辑的某种对象语言,来探视其牵强成效。

直觉主义逻辑提供了关于非卓绝元逻辑的叁个无比紧凑研究的例证。与独有关怀直觉主义逻辑的方式组织的传说物医学家相比较,处在布卢尔Will和海丁古板的观念型直觉主义者(ideological intuitionists)否认排中律在关系无穷域时的得力。在直觉主义逻辑的元理论中,所议论的是该语言中的无穷域公式及无穷域表明。因而,思想型直觉主义者坚决否认排中律在他们元答辩中的有效性。他们对那一点很尊崇,试图为直觉主义逻辑前进生龙活虎种直觉主义元答辩。

此间的景观是繁体的,因为直觉主义逻辑有二种并不等价的语义类型。但是,对于自然意义上的豆蔻年华阶直觉主义逻辑“解释”,至稀少一点相符于塔斯基模型论概念上的黄金时代阶精粹逻辑解释,有着如此的情事。大家来看标准意气风发阶语言。生龙活虎公式为“直觉主义有效”,当且仅当它依照所指意义上的每一向觉主义解释下都为真。风流倜傥公式为“直觉主义可证”,当且仅当它在该语言的正经八百直觉主义自然演绎系统中可证。可信性是小问题的:依据相同的时间在杰出意义上和直觉主义意义上可用的元理论推理,大家可注解每向来觉主义上可证的公式都以直觉主义有效的。完全性的标题适逢其会颠倒过来。根据可用于杰出意义上却不可用于直觉主义意义上的元理论推理,大家可验证每一向觉主义有效的公式都是直觉主义可证的。别的,大家依照可同一时候用于精华意义上和直觉主义意义上的元理论推理,能够注脚:假设每平素觉主义有效的公式都以直觉主义可证的,则因而可得出生龙活虎一定结论,这一定论在精髓意义上有效却在直觉主义意义上独一无二不可信赖。由此,从直觉主义元答辩的意见来看,有关意气风发阶直觉主义逻辑的完全性定理看上去是错的,就算它在精湛元答辩中是可证的。

的确,相对于黄金年代阶直觉主义逻辑的此外模型概念的话,其可信赖性和完全性可透过而且用于卓绝意义上和直觉主义意义上的演绎得到注脚。但思疑的是,它们中间针锋相投应有如前述意义上的演说相应于思想型直觉主义关于目的语言表明式意义的当然计划。实际上,依照直觉主义逻辑在旧语义学上的不完全性,通过评释自身并不适应原有的意料意义,有个别依然足以解释新语义学上的完全性定理,因为大器晚成旦在富有新模型中为真必要直觉主义的可证性,而听大人讲全部直觉主义解释为真却并不须求,因此便可看清:依照全体直觉主义解释为真并不必要在颇有新模型中为真。

咱俩换一个尤为简易的例证:由于模糊性难题而提议的连续几天统值逻辑或歪曲逻辑。对于精髓元答辩对其进展商讨的平常程序,有风流倜傥种青天白日的争议,即高阶模糊性。借使有些人是男女这或多或少是混淆的,那么相似模糊的是,区间[0,1]中的实数极好地质度量量出了她当作子女的程度。因而,模糊性也提到元语言,而生龙活虎旦目的语言的模糊性使得接二连三统值逻辑适于对象语言,那么由此类推,元语言的模糊性将使得一连统值逻辑也适应元语言。于是,一而再统值逻辑学家不应该在元答辩中国国投赖排中律及近似原理。对此,他们只怕作如下回答:

大家必得分别开真理论与模型论。风度翩翩种经过分解的语言的真理论,应该忠于非逻辑原子表明式的存活意义,由此高阶模糊性的题目确实产生了。可是,模型论从非逻辑原子表明式的现存意义举办抽象。它对于向它们举办的确切类型的种种语义值支使授予回顾。更适于地,一连统值命题逻辑的模型只但是是由原子公式到间距[0,1]实数的猖狂函数。为了对如此的函数举办满含,我们只必要标准的数学和句法词汇;因此高阶模型性的标题并不发出。大家得以在模糊语言总是统值逻辑的模型论中合法地利用优良元逻辑。

这种答复的风险在于使得模型论与真理论间隙过大。依照风姿罗曼蒂克种模型论概念,逻辑真理在富有模型中为真,而逻辑后承在具备模型中保真。不过,逻辑真理应该是实在,真前提的逻辑后承也应该是真的。满意这一个准则的最直白的办法正是颇负五个或更七个预期模型(intended models),它们相应于对象语言表明式的水保意义:一句子在一给定预期模型中为真,当且仅当它绝对地为真。由于逻辑真理是在享有模型中为真,非常地,它在预期模型中为真因此相对地为真;对于逻辑后承,同样如此。依据风流罗曼蒂克种级度论(degree-theoretic)概念,在预料模型中的真之级度等于它现存的真之级度。可是,假使老是统值逻辑的模子是上述回答所必要的这种纯数学结构,那么带有高阶模糊性的言语就不具有预期模型。答复者可能依旧希望模型论通过某种不太直白的秘籍来落成工具主义目标,依据这一艺术,在富有模型中为真饱含绝对地为真,在具备模型中保真蕴含相对地保真。但竟然是如此的企盼也落空了。

此地有二个事例。若大家从卓绝元答辩内部来商讨三回九转统值逻辑,便可看清那样的公式为使得:

因为在任风流倜傥给定模型中,要么v,那时v=1;要么v,那时v=1。三种情状下,都是v=1。级度论者在模糊语言中拒斥排中律p∨p的前期主张是,在临界的动静下,两析取项就像都不是相对真,而只在某中间级度上为真,这表示,依据级度论者的定义,该析取命题不要相对真,因为既然析取命题的真之级度是其析取项真之级度的最大值,析取命题的断然真将要求至稀少风流罗曼蒂克析取项为相对真。现假定p、q为不联网的围拢状态,二者同期显示高阶模糊性。譬喻,p可解释为“她是孩子”,而q解释为“这是谷堆”。正如笔者辈恐怕完全不晓得是或不是他是亲骨肉或那是谷堆同样,大家相近或者完全不清楚哪些根据这是谷堆的级度来对她是儿女的级度作出一定,对于相应的真之级度来讲,相近也这么。依据级度论者的术语,#的两析取项就好像不是绝对真,而只是在某中间级度上为真,那象征#毫无相对真。因此,最早对于排中律的异同可扩充至#,即便延续统值语义学通过优质演绎包罗:#是平价的,是逻辑真理。#的难点要么会发生,大家来观望q为p的特地状态:

先是析取项是纯属真的,当且仅当p的真之级度至多为0.5;第二析取项是绝对真的,当且仅当p的真之级度最少为0.5;借使p是意气风发种临界状态,对其建议的杜撰意见是有个别扶助p有些反驳p,则情状如同是:不止p的真之级度至多为0.5不是绝对真的,何况p的真之级度最少为0.5亦非纯属真的。有个别思索意见侧向于小于0.5的# #真之级度,另某个思量协理于过量0.5的# #真之级度,而它们之间什么相互抵消却仍全然不知道。那样一来,延续统值逻辑的卓绝元答辩若要想对模糊性实行固化管理,就确证了级度论者必定加以拒绝排斥的公式。

从艺术学上看,级度论者同理可得的做法正是应用三回九转统值的元逻辑。但是,从技巧上看,那大器晚成做法形成了严重难题。不唯有是说,接二连三统值逻辑极其弱,要验证在那之中重大的元逻辑结论很恐怕是可是不方便的,级度论者要在此地方作出尝试大致不容许。以至在条件上也不精晓什么缓和开始时期有怎么样原理在该逻辑中有效的主题材料,假使大家亟须也在元语言中用到它的话。因为只要大家在一方始未有知晓该逻辑中某风流罗曼蒂克规律的可行,相通地我们就从未有过能够依据的元逻辑原理来演绎该逻辑之原理的有效性。因此,大家恒久早先不断。或者能够试着做小而毫无做大:一发端将卓越逻辑作为大家的系统,然后把范围为其拥有原理都可以选择作为元逻辑由三回九转统值语义学获得证实的系统,界定为其独具原理都足以行使作为元逻辑由一连统值语义学获得印证的系统,如此等等。排中律是在中,但不在中;#和# #将要和中,但大概不在中,因为急需用来验证它们的推理涉及近似元逻辑上的排中律的某种东西(它设定:或许v或然v。日常地,作为后生可畏种逻辑,将囊括全部可由三番五次统值语义学生运动用作为元逻辑获得验证的规律。那风姿浪漫经过可在序数列上海重机厂复下去。随着下标数字的叠合,恐怕会有原理蚀本,却长久不会剧增原理。最后,该进程将完成意气风发固定点,使得。元语言中的这种逻辑通过对象语言的接连统值语义学将确证本人,因而它自然有梦想成为固定的连接统值逻辑。但依然十分不知道什么原理属于该固定点的逻辑。实际上,即便我们清楚何种原理属于(其元逻辑是精华意义上的),但丝毫不清楚何种原理属于(其元逻辑是非卓越的)。该固定点的逻辑很也许最后开掘是极度弱的。但是,原则性的连接统值逻辑作为对于模糊性的风度翩翩种管理只有被用作其自个儿的元逻辑,才算做出公平试验,无论它所要指引大家进来的领地是何许贫乏勘查。

就像的光景对于大器晚成阶非模态逻辑的经文扩张系统也发生。大家以生龙活虎阶模态逻辑中的巴坎公式为例:

◇x A非情势地看,它是说:假诺也可以有某种东西满意特定条件,那么就有某种东西或许会满意该条件。繁多教育家认为,BF存在着现实反例。举例,Elizabeth水晶室女生机勃勃世未有有儿女,但他本得以部分。遵照BF,可得出:存在某种东西,它大概已改成Elizabeth大器晚成世的男女。但它是指什么吗?根据克里普克所百折不挠的切切实实根源的庐山面目目地位,现实中未有人大概会有伊Lisa白生龙活虎世作为老母。即便实际中有某种原子集大概构成了Elizabeth风流倜傥世,但该会集不容许变得与她等同。依据那一个文学家,现实中尚无其余东西大概已改为伊Lisa白意气风发世的孩子。因此,BF是错的。再者,根据同等的必然性,BF意味着不容许有比现况愈来愈多的事物;而广大文学家却感到宇宙在大小上是不时性的。

克里普克建议了怎样在恐怕世界语义学中对BF的反例创设立模型型。集合W中的每一成分w都事关到一个集结D,即w的定义域;黄金时代阶量化公式在w的值限于D。这样,xA在w为真,当且仅当,对于D的某成分o,A在w为真,o的值指使给变元x(全部其他变元值保持从来)。差异的因素w会有差异的定义域。非格局地看,w的定义域可身为存在于世界w的事物集结,但那在恐怕世界语义学中不起成效。为了营造在A为原子公式Fx时的反模型,大家要求构建在W的特指成分@上前件为真后件为假的贰个模子。简单一点,大家来看这么三个模型,在那之中W全部的因素对属于波先生及讴歌ZDX,那使得模态系统S5有效;非情势地看,每意气风发世界皆以绝对于每黄金年代社会风气恐怕的,必然性和只怕并非本身为突发性之物。为注明BF的前件,可设定原子谓词F在世界w的外延富含对象o∈D。为否证BF的后件,可设定:o*∈D全都不在F在任大器晚成世界的外延中,因而可得,oD。通过格局化,这一个标准可大肆地张开整合。比如,令W={0,1},@=0,w=1,D={2},D={2,3};令F在0的外延为{},F在1的外延为{3}。那么,◇xFx在@为真,因为xFx在1为真;x◇Fx在@为假,因为◇Fx在@为假,x赋值为2即D的独一成分。至此,模型论就好像与那么些思想家的直观完全适合。

今昔,我们要试着把这样四个反模型用于该指标语言的预想解释。那样一来,W就不是风姿罗曼蒂克自然数对,而是意气风发可能世界群集,而@是实际世界。D作为具体世界的定义域,是现成的满贯事物之集结。BF的反模型须要有局地象o,它是某D的成分,因而并非实际存在的对象。如此,在动用可能世界语义学的非模态元语言刻画反模型时,我们终将说:存在某种东西o,它在实际中并荒诞不经。对于将实慰劳题实属处在该特别时间和空间系统的模态实在论者来说,那样的结果可能是如意的。不过,大大多批驳BF的思想家都不是模态实在论者。相反,他们感觉,全部之物在相关意义上实际存在着。如此,在形容BF的反模型时,他们一定这么说:存在某种东西,它并不设有。那是黄金年代种冲突。全体BF的反模型都在切实世界对于指标语言量词比对于元语言量词作者更为约束的解释。但是,对于BF所作的最具形而上学意义的解读并不包涵那样的剩余约束。假如有三个或许世界模型提供了这么后生可畏种对于目的语言的意料解释,那么BF创造。与第后生可畏影像相反,模型论对于BF何以会在对量词作者Infiniti定解读时失效并没有提议任何解释。

那并不意味,应该放弃辩驳对BF作无界定的解读。毋宁说,他们当然要动用的诀若是,付与或许世界模型论风姿罗曼蒂克种纯粹工具主义的效应。依据他们的视角,在某类的具有那样的模型中为确实公式能够与在某种别的意义上依据对模态算子、量词及此外逻辑常项的意料解释为使得的公式完全切合,但那并不是因为那一个模型表示那么些表明式的预料意义。对于如此的戏剧性,须要付出某种不太直接的论证。模态对象语言表明式的预期意义必需体现在模态元语言中。评价模态元逻辑原理的至关重要标准自己就能够是模态的。依照非模态术语,不恐怕对于BF的失效作出任何解释。

在以模态元语言发展模态对象语言的语义理论方面,实际暮春经做了一定量行事。与非模态元语言的只怕世界语义学相比较,那是后生可畏件吃力的活;以至要表达不过轻巧的结果都特别不便。不过,假使大家要对相符BF这样的模态原理作出公正评价,这样的行事就一定要去做。

关于涉及特出大器晚成阶非模态逻辑本人的例子,大家来看关于相对Infiniti日常性的逻辑,此中的生机勃勃阶量词被胁持解释为带有全数一切。鉴于集合论中的Russell谬论和布Larry-福蒂谬论,对这么的量化理论的合理和融贯性有着刚毅争论,但自个儿在别处已对其作了保卫。能够证实,对于标准生机勃勃阶语言来讲,一论证依据全体这样的随机解释是保真的,当且仅当它在每生龙活虎带有定位大小的无穷域的正规集结论模型中是保真的。因而,大家只要扩大有关“至少有n个东西”的平时方式化作为新公理,便可交付风流罗曼蒂克种保障且完全的公理化。近似策梅罗-Frank尔集论那样的标准集结论有贰个定律是说,并不设有大全集,因而任何固定大小的模型都不能够对量词给出无界定的料想解释;但是,要借助随意的量词解释对有效给出外延上科学的勾勒,并无需更加大的模子。

那几个结果就像申明,我们可在元语言中逃脱那类有争论的量化理论。但那过于心急了。理由并不仅仅是,为了在指标语言中表明但是制量化逻辑的可信赖性和完全性定理,大家必需在大器晚成从头选拔到元语言中的无限定量化。如哈维·Fried曼(哈维弗Reademan)所标注的,对极端制量化的完全性注明必然用到那般的只要,即对于绝对的漫天(absolutely everything)都有风度翩翩种线性的排序。这是全选择公理的二个比较弱且尚存纠纷的测算。借使对于整个不设有线性排序,则不行其实断言Sportage并不意味对于一切的线性排序的大器晚成阶公式将依附全数无界定解释为真:

xyz(翼虎xx &(x≠y→&((奥德赛xy & Ryz)→奥迪Q5xz))当然,NLO在少数固定大小的无穷模型中是假的,举例在定义域是自然数集并且瑞鹰为对于它们的平日排序时。那样,哪些公式依照量词的即兴解释为使得就便于受到有关所存在之一切的结构上的小细节影响。上涨到元语言也无法解脱那样的争论。

该例子的另一表征是,为了在元语言中对富有指标语言的大肆解释进行适当的牢笼,我们须要大器晚成种二阶元语言。因为若要运用少年老成阶元语言,全体为非逻辑原子谓词可获取的语义值也将用作少年老成阶变元的值,因此发生了后生可畏种版本的Russell谬论,除非对于非逻辑原子谓词的演说以某种非预期的章程受到限定。该难点可在二阶元语言中防止,此中相关的平时可透过二阶量化达成,不是对此原子谓词语义值的风流洒脱阶量化,而是二阶量化。原子谓词不被指派语义值。以致“解释”后生可畏词也必须换到风华正茂种适于的高阶术语。任何在生机勃勃阶元元语言中提交二阶元语言语义学的尝尝都会再一次引进鲁斯ell谬论。在雷同景况中,从目的语言到元语言的语义上涨趋向于更具争论性。

在“四十世纪的逻辑与理学”一文中,冯赖特写道,如同逻辑学中的大好些个存有医学意义的技巧性工作均已做完。上文好多事例注脚,个中山大学量的劳作才刚刚开头。对象语言中的非正统唯有因而元语言的非正统本领得以充足商讨与公正评价,那一点远要比大家所开掘到的更是优越。这种非正统一时是关于逻辑的演绎力的,有时是有关语言的表明力的。二种档案的次序的非正统导致在元逻辑研商措施上的争辩,例如,是透过对演绎的新节制仍然经过对发挥的新放松。由于那方面工作的意念主假若经济学上的,而且所急需的技艺平日具有法学意味,大家不容许希望科学家来为大家做这项职业。大家亟须亲自来做。经济学的最大乐趣之生机勃勃正是思索后生可畏种截然两样的谋算格局。观察逻辑差异在元逻辑中重新展现,能够体会到那般反差到底能够什么深透。

元逻辑概念作为不相同逻辑之间的单独评判,它是作为差别实体理论之间独立评判的逻辑概念的最后避难所。固然择代逻辑的大街小巷不在减弱了指标语言中作为独立裁判的逻辑概念,它们以元逻辑作伪装的再一次现身则减弱了元语言中作为独立评判的逻辑概念。

作为独立评判的逻辑概念在今世逻辑文学中很有震慑。举个例子,大家发现David·卡Pullan(DavidKaplan)对恐怕世界语义学那样写道:“假如PWS是充任内涵逻辑的,咱们就不应对其掺加…形而读书偏见。大家逻辑学家要拼命服务于考虑意识并不是限制它们。”相近的见解是约翰·Ike曼迪(JohnEtchemendy)《逻辑后承的概念》豆蔻梢头书的预设。他旁观了以下规范:纵然少年老成全称归纳是当真,但并不作出实质性主见,那么其具有示例都以逻辑真的。对此,他写道:“这大器晚成新原则看起来是主题科学的。实际上,它看起来准确是因为它只可是是对此规范的含糊重述”。是说:即便大器晚成全称回顾是逻辑真的,那么其持有示例也都以逻辑真的。大致,艾克曼迪是在把“是真正,但并不作出实质性主见”作为“是逻辑真的”的混淆释义。

虽说卡Pullan和Ike曼迪他们作者都是为逻辑学概念并不是作“思想意识上”或“实质性”的看好,但她俩几个人都未曾提议生龙活虎种非循环的正式来识别这样的主见。在卡Pullan说逻辑学家的用力不要束缚观念意识时有多个脚注,他扩充了“当然,除有效论证之外”那样的约束。他迟早认识到了,这使得她所说的话形成了这么的命题,即逻辑学家的极力不能够自律观念意识,除非是透过逻辑学,他如此说并未有过多告诉大家关于逻辑学的限度。同样地,Ike曼迪在设定“非实质性真理”只不过是“逻辑真理”的歪曲释义时,意味着,“逻辑真理是非实质性真理”仅仅是“逻辑真理是逻辑真理”的模糊释义,因而并从未报告大家别的有用音信。不过,卡Pullan和艾克曼迪是在论证有关逻辑学界限的极不平时的定论时作出上述评价的。卡Pullan是要论证内涵性语言中的风度翩翩特定公式不应当便是逻辑真理,固然其在大概世界语义学中央银立竿见影。Ike曼迪是要反对塔斯基关于逻辑后承的模型论概念,並且与卡Pullan同样,他自认豆蔻年华观察就能够分辨出实质性主见:比如,他确信雷同xy那样的留存句也是实质性的而非逻辑真理。再有,二阶逻辑中有多个公式CH和NCH:CH是一模型论逻辑真理,当且仅当康托一而再统假诺制造,而NCH是一模型论逻辑真理当且仅当此三番五次统尽管不树立。那样,在优越意义上,或然CH是模型论逻辑真理也许NCH是,但大家不晓得哪贰个是,因为大家不精通一而再延续统固然是还是不是建立。IkeMandy因此以为CH和NCH二者都以实质性的,不可能作为逻辑真理,在这里基础上她随后反驳模型论概念上的逻辑真理。

假诺我们领略逻辑学上的一直争辨足以达到元逻辑,大家就能够嫌疑任何把逻辑学或元逻辑局限于非实质性的、非理念意识的尝试。尽管咱们得以期望有与此相类似黄金年代种独立裁判来标准理学争辨,但大家不容许永久具有同一个。逻辑实证主义必要在逻辑学和教条主义之间作出清晰分界,但逻辑实证主义是大谬否则的。逻辑学是不利,个中与形而上学重叠的部分也是不易。科学从哪些时候开头是无争持的吧?

[英]T·William姆森(Timothy Williamson),United Kingdom哈佛高校Wickham逻辑学教师,大不列颠及英格兰联合王国科高校院士,美利哥文科理科中国科学技术大学学外国国籍荣誉院士。

①Von Wright, The Tree of Knowledge and Other Essays(Leiden: E. J. Brill, 一九九一), pp. 7—24;中译文见陈波编选:《知识之树》,东京(Tokyo):三联书店二〇〇二年版,第146—169页。本译文引自后一文献,第16页。

②《知识之树》,第24页。

③《知识之树》,第23页。

④Our Knowledge of the External World(London: Allen & Unwin,一九一五),p.50.该段话出未来题为“逻辑学作为理学的庐山真面目目”的生龙活虎章。该书的标题申明,罗素关于科学与艺术学关系的思想意识不像冯Wright那样彼此排挤。

⑤自然,作为逻辑研商之源,计算机科学已大约与数学同样主要;从社会学上看,经济学排在第四个人。

⑥《知识之树》,第24页。

⑦See Matti Eklund, "On How Logic Became First-Order", Nordic Journal of Philosophical Logic 1, pp. 147—167, and reference therein.

⑧See W. V. Quine, Philosophy of Logic(Prentice-Hall, 1970), pp. 61—94, see also Ignacio Jané, "A Critical Appraisal of Second-Order Logic", History and Philosophy of Logic 14, pp. 67—86.

⑨据冯Wright:“若是把现代逻辑史看作概念危害或混乱领域中的‘理性祛魅’进度,大家便可决断:世界二战后逻辑理论上最令人激动的发展就是模态逻辑的再生”(《知识之树》,第19页)。

⑩See Stewart Shapiro, Foundations without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic(Oxford: Clarendon Press, 1991).

出于模态逻辑上的八种目标,并不必在一模子内钦赐W的叁个特定成分@;这里作特指是为方便表达。

思量到模态因素,有人建议:在该指使下基于联结词的预期解释为实在公式构成了极弱正规模态逻辑K中的一个高大相容集。比如,在K的标准模型(在里头不钦命其余点为“现实世界”的模型的意义上)中有好几,在这里有所并且只有那二个公式为真(参看G. E. 休斯 and M. J. Cresswell, A New Introduction to Modal Logic, London: Routledge, 1997, pp. 112—120)。这几个点可看做范例模型的具体世界。

只需利用如前同样与一定指使相联的模型类的并集。

See Kenton F. Machina, "Truth, Belief and Vagueness", Journal of Philosophical Logic 5, pp. 47—78.

Adolph·林登堡姆沿此路径注明了实在颇负普通的结果,通过提议语言L中任大器晚成给定逻辑S在生机勃勃种语义学下是保证且完全的,此中指使给L公式的值是在S中有着逻辑等价关系的L公式等价类,而且定理等价类是特指值,若是S中的逻辑等价是相对于L算子的后生可畏种全等关乎(他为S构造出了后天所谓的Lindenbaum代数)。参看迈克尔Dummett, Elements of Intuitionism(Oxford: Clarendon Press, 2[nd]edition 2000),p. 122。

详尽商量及越来越多参考书目,可参看Dummett, Elements of Intuitionism, pp. 154—204.那边商量的首先种完全性概念是她所谓的“内在完全性”,特别可参照定理5.36和5.37。这里的新模型是韦尔曼(Wim Veldman)和德斯沃(哈利 de Swart)的广义贝思树,当中常假式可在豆蔻梢头节点可以证实,倘若全数原子公式也都得以表明的话。D. C. McCarty在“数学中的直觉主义”一文中提议论证:甚至直觉主义命题逻辑对于无穷集的前提也是不完全的,参看Stewart Shapiro, ed., The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic(Oxford: Oxford University Press, 二零零七), pp. 372—373。

连锁思索可参看Hartry Field, Saving Truth from Paradox(Oxford: Oxford University Press, 二〇〇八), pp. 108—114,即便书中所选择的逻辑并不是三番五次统值逻辑。

越来越多研究,参看T. Williamson, Vagueness(London: Routledge, 1991), pp. 127—131,该书捍卫对于接连几天来统值逻辑的大器晚成种精髓逻辑替换。

该原理的命名是基于鲁斯·巴坎·马尔库斯(Ruth Barcan 马库斯),她发觉了它并第三次对其展开方式化,但在此之前伊本·西拿(Ibn Sina,又名阿威森那,980-1037)已经知晓了;参看Zia Movahed, "Ibn Sina's anticipation of Buridan and Barcan formulas", in A. Enayat, I. Kalantari and M. Moniri, Proceedings of the Workshop and Conference on Logic, Algebra and 阿Ritterhmetic, Tehran 2004(Natick, Mass.: A. K. Peters, 二零零零)。

参看S. A. Kripke, "Semantical Considerations on Modal Logic", Acta Philosophica Fennica 16, pp. 83—94。

越多斟酌,参看T. Williamson, "Bare Possibilia", Erkenntnis 48, pp. 257—273,该文捍卫BF及其反命题。

See Kit Fine, "Prior on the Construction of Possible Worlds and Instants", in A. N. Prior, Worlds, Times and Selves(London: Duckworth, 1977), reprinted in Fine, Modality and Tense: Philosophical Papers(Oxford: Clarendon Press, 2005); Martin Davies, "Weak Necessity and Truth Theories", Journal of Philosophical Logic 7, pp. 415—439; Christopher Peacocke, "Necessity and Truth Theories", Journal of Philosophical Logic 7, pp. 473—500; Anil Gupta, The Logic of Common Nouns: An Investigation in Quantified Modal Logic(New Haven: Yale University Press, 1980). For model theory, see Lloyd Humberstone, "Homophony, Validity, Modality", in J. Copeland, ed., Logic and Reality: Essays on the Legacy of Arthur Prior(Oxford: Clarendon Press, 1996).

See T. Williamson, "Everything", in J. Hawthorne and D. Zimmerman, eds., Philosophical Perspectives 17: Language and Philosophical Linguistics(Oxford: Blackwell, 2003). For more discussion, see A. Rayo and G. Uzquiano, eds., Absolute Generality(Oxford: Clarendon Press, 2006).

See H. Friedman, "A Complete Theory of Everything: Validity in the Universal Domain", www.math.ohio-state.edu/~friedman/; Agustín Rayo and T. Williamson, "A Completeness Theorem for Unrestricted First-Order Languages" and Vann McGee, "Universal Universal Quantification: Comments on Rayo and Williamson", in J. C. Beall, ed., Liars and Heaps: New Essays on Paradox(Oxford: Clarendon Press, 2003).

See Friedman, "A Complete Theory of Everything".

See Williamson, "Everything" and Rayo and Williamson, "A complete 西奥rem for Unvestrict First-order Language";关于在二阶元语言中营造二阶语言语义学的开始时期专业,参看吉优rge Boolos, "Nominalist 柏拉图nism", Philosophical Review 94: 327—344, and A. Rayo and G. Uzquiano, "Towards a Theory of Second-Order Consequence", Notre Dame Journal of Formal Logic 40: 315—325。

D. Kaplan, "A Problem in Possible-World Semantic", in W. Sinnott-Armstrong and et al., eds., Modality, Morality, and Belief: Essays in Honor of Ruth Barcan Marcus(Cambridge: Cambridge University Press), 1995, p. 42。

J. Etchemendy, The Concept of Logical Consequence(Chicago: The University of Chicago Press, 1999), p. 143.

Etchemendy, The Concept of Logical Consequence, p. 111.

See Etchemendy, The Concept of Logical Consequence, pp. 123—124 and Shapiro, Foundations without Foundationalism, pp. 105—106.

在此求助于深入分析性概念也无论用;参看T. Williamson, The Philosophy of Philosophy(Oxford: Blackwell, 2005)。

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